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熵权法

基本原理

• 熵权法:物理学名词.
  • 按照信息论基本原理的解释,信息是系统有序程度的一个度量,熵是系统无序程度的一个度量
  • 根据信息熵的定义,对于某项指标,可以用熵值来判断某个指标的离散程度.
  • 信息熵值越小,指标的离散程度就越大,该指标对综合评价的影响就越大,如果某项指标的值全部相等,则该指标在综合评价中不起作用.
• 熵权法是一种客观的赋权方法 ,它可以依据数据本身获得权重.
• 原理:指标的变异程度越小,所反映的信息量也越少,其对应的权值应该也越低

基本步骤

• 数据标准化
  • $$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}^{2}}}}$$
  • 如果存在负数,$\tilde{Z}=\frac{x-min\left\{x_{1j},x_{2j},……,x_{nj}\right\}}{max\left\{x_{1j},x_{2j},……,x_{nj}\right\}-min\left\{x_{1j},x_{2j},……,x_{nj}\right\}}$
• 计算概率矩阵
  • 计算第$j$项指标下第$i$个样本所占的比重 $p{ij}=\frac{\tilde{z}{ij}}{\sum{i=1}^n{\tilde{z}{ij}}}$
• 计算熵权
  • 对于第j个指标,信息熵的计算公式未=为 $e_j=-\tfrac{1}{\ln n}\sum_{i=1}^n{p_{ij}\ln \left( p_{ij} \right)} \left( j=1,2,...,m \right)$
  • 易知,当 $p{1j}=p{2j}=…=p_{nj}=\frac{1}{n}$ 时, $e_j=1$, 此时信息熵最大,但其信息效用值最小
  • 定义信息效用值:$\quad d_j=1-e_j\quad$ 此时效用值越大,权重越大.
  • 将信息效用值进行归一化,得到熵权 $W_j=\tfrac{\alpha _j}{\sum_{j=1}^m{d_j}}$